Trong nhiều trường hợp nguyên lý có thể đưa công thức chính xác (chẳng hạn như đếm số nguyên tố khi sử dụng sàng Eratosthenes), công thức suy ra được đôi khi không hữu dụng bởi số các phần tử của nó quá nhiều. Và, kể cả khi mỗi số hạng trong đó có thể được ước lượng chính xác, thì tổng các sai số có thể khiến cho công thức bao hàm-loại trừ không áp dụng trực tiếp được. Trong lý thuyết số, vấn đề này được Viggo Brun nhắc tới. Sau một khởi đầu chậm, các ý tưởng của ông dần được thu nhận bởi người khác, và từ đó một lượng lớn phương pháp sàng được phát triển dựa trên đó. Các phương pháp này có thể dùng để thử tìm cận trêm cho các tập "đã được sàng", thay vì phải tìm công thức chính xác.

Gọi A1, ..., An là các tập hợp tuỳ ý và p1, …, pn là các số thực thuộc đoạn [0, 1]. Khi đó, với mỗi số nguyên chẵn k thuộc {0, …, n}, các hàm chỉ thị đều thoả mãn bất đẳng thức sau:[18]

1 A 1 ∪ ⋯ ∪ A n ≥ ∑ j = 1 k ( − 1 ) j − 1 ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i j ≤ n p i 1 … p i j 1 A i 1 ∩ ⋯ ∩ A i j . {\displaystyle 1_{A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}}\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{j}\leq n}p_{i_{1}}\dots p_{i_{j}}\,1_{A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{j}}}.}